设$E$是$\mathbf{R}^n$的子集合，$f:E\to\mathbf{R}^m$是函数，$x_0$是$E$的内点，$1\leq j\leq n$,证明$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)$存在的充分条件是$\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)$和$\mathbf{D}_{-e_j}f(x_0)$存在并且相反，而此时$\frac{\partial f}{\partial x_j}(x_0)=\mathbf{D}_{e_j}f(x_0)$.

证明:

$\Leftarrow:$我们知道

\begin{equation}

\label{eq:2}

\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0+te_j)-f(x_0)}{t}=L_1

\end{equation}

而且由于

\begin{equation}

\label{eq:3}

\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0-te_j)-f(x_0)}{t}=-\lim_{t\to

0;t>0}\frac{f(x_0)-f(x_0-te_j)}{t}=-L_1

\end{equation}

因此

\begin{equation}

\label{eq:4}

\lim_{t\to 0;t>0}\frac{f(x_0)-f(x_0-te_j)}{t}=L_{1}

\end{equation}

因此

\begin{equation}

\label{eq:1}

\lim_{t\to 0;t\neq 0}\frac{f(x_0+te_j)-f(x_0)}{t}

\end{equation}

存在且等于$L_1$(为什么?)

注

1.这道题澄清了我头脑里"偏导数"的概念和"方向导数"的概念.注意，偏导的定义要求$t\to 0,t\neq 0$即可，而方向导数却要求$t\to 0,t>0$.

2.这里"内点"这个条件是不可或缺的.